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【信号处理】之信号FFT、卷积滤波、相关
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发布时间:2019-03-25

本文共 870 字,大约阅读时间需要 2 分钟。

1. FFT(快速傅里叶变换)

FFT(快速傅里叶变换)是离散傅里叶变换(DFT)的高效算法,将信号从时域转换到频域。许多信号在时域难以显现特征,但经过FFT后频域分析却异常直观。这也是FFT在信号分析中广泛应用的主要原因。

FFT的核心物理意义在于:模拟信号经过采样后被转换为离散信号。根据采样定理,采样频率需高于信号频率的两倍。这样,数字信号才能便于进行FFT变换。为了确保FFT计算的效率,采样点数通常取2的整数次方。

具体而言,设采样频率为Fs,信号频率为F,采样点数为N。FFT后的结果是N个复数点。第n个点的特性包括:

  • 模值:√(a² + b²)
  • 频率:(n-1)Fs/N
  • 幅度:模值/(N/2)
  • 相位:b/a(须转换为角度单位)

对于原始信号的峰值A,FFT结果中除直流分量外,每个点的模值均为A×(N/2)。

傅里叶公式

离散信号x(n)的DFT定义为:

\[X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cdot e^{-j2\pi kn/N}\]

傅里叶变换可以分解为偶序列和奇序列的和。将信号分解为x1(n)(偶序列)和x2(n)(奇序列),分别计算它们的DFT结果X1(k)和X2(k)。利用DFT的性质可得:

\[X(k) = X1(k) + jX2(k)\]

原理

FFT是一种在O(N log N)时间内完成DFT的算法,是信号分析中的工作 horse。其核心原理在于利用复数单位根和分治策略,将DFT问题递归分解和合并,最终显著降低计算复杂度。

2. 信号滤波

卷积的理解

卷积是信号处理中的基本操作。简单来说,卷积是对两个信号进行逐点乘积积分,反映信号之间的叠加效果。不同滤波器类型(如低通、高通、带通等)在卷积中起到不同作用。

3. 相关

相关衡量信号之间的相互作用强度。常用于分析信号之间的协调性或干扰程度。通过相关可以理解不同信号的波动是否同步或独立。

总结

FFT、信号滤波和相关技术是信号处理的核心工具,广泛应用于多个领域。理解这些技术的物理意义和算法原理是掌握现代信号分析的关键。

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